Рођен је 1933. године у породици железничког чиновника у Сарајеву.
Вихор Другог светског рата је породицу Живановић као избеглице пронео кроз чак осам градова бивше Југославије, коначно их зауставивши у Београду.
Ниже разреде гимназије и Малу матуру положио је 1948. године у Првој мушкој гимназији у Београду, а више разреде гимназије у Првој мешовитој гимназији у Земуну. Дипломирао је на Медицинском факултету београдског универзитета 1959. године као један од најбољих студената. 1964. године постао је један од најмлађих доктора наука у бившој Југославији. Своју професионалну каријеру посветио је анатомији, палеопатологији и биоантропологији.
Његова открића из области анатомије уврштена се у чувену Грејову Анатомију 1973.године. Изабран је за редовног члана Краљевског Антрополошког Друштва Велике Британије (Royal Anthropological Society of Great Britain), као и за члана Краљевског Медицинског Друштва (Royal Society of Medicine).
Био је члан многобројних међународних стручних удружења, као и члан Међународне Словенске Академије наука,културе, образовања и уметности, те Академије наука Републике Српске.
Највећи део свог радног века провео је као редовни професор на једном од најстаријих медицинских факултета на свету, Свети Бартоломеј на Универзитету у Лондону (Barts and the London School of Medicine and Dentistry, University of London). Био је гостујући професор на неколико универзитета у свету, укуључујући Универзитет у Оксфорду, као и универзитете у Србији, Босни и Херцеговини, Уганди, Зимбабвеу и Папуи Новој Гвинеји.
Aутор је преко 30 књига од којих је књига Болести древних људи постала приручник из области биоантропологије широм света. Објавио је преко 150 научних радова у стручним и академским часописима, укључујући и чувени журнал Nature са радом о Ђердапским скелетним серијама.
За свој рад одликован је многим домаћим и међународним наградама. Блаженопочивши Патријарх српски Герман, одликовао га је Орденом Св. Саве за антрополошка испитивања у Манастиру Копорин (мошти Св. Деспота Стефана Лазаревића).
За животно дело у унапређивању науке у пољу медицине одликован је престижном Маркизовом наградом Ко је Ко у свету 2020.године.
У српској јавности остаће упамћен као члан форензичког тима који је 1964. године вршио ископавања масовних гробница у јасеновачком систему хрватских концентрационих логора смрти.
Остаje упамћен по свом неуморном залагању за утврђивање чињеница везаних за геноцид почињен над Србима, Јеврејима и Ромима за време Другог светског рата на простору Независне Државе Хрватске.
Награду Растко Петровић добио је за књигу Јасеновац, а нoсилац је и меморијалних плакета и награда удружења преживеле деце логораша Јасеновца из Србије и Републике Српске.
Суоснивач је Фондације за сећање на Јасеновац и Холокауст са седиштем у Лондону, као и Председник Комисије за истраживање истине о Јасеновцу, чију је Декларацију о геноциду над Србима, Јеврејима и Ромима у НДХ усвојила Народна Скупштина Р. Српске 2015.године.
Сахрана ће се обавити на православном гробљу у Лондону, а комеморације ће се одржати у Бања Луци, Београду и Лондону. Датуми ће бити накнадно објављени.
***********
Поводом упокојења Академика Живановића, дате су следеће изјаве:
Проф Др Владимир Лукић, почасни предсједник Удружења Јасеновац – Доња Градина:
Велики човјек великих дјела. Својим радом и посвећеношћу у борби за ширење истине о геноциду почињеним над нашим народом у НДХ, задужио нас је и обавезао да истрајавамо на путу истине. Цијењен и уважаван широм свијета, постао је један од најбољих амбасадора у историји.
Проф Др Драгољуб Ацковић, Генерални Секретар Европске Ромске Уније и народни посланик Скупштине Србије:
„ Академик Живановић је био велики борац за истину о геноциду над Србима, Јеврејима и Ромима у НДХ. Та борба, трајала је од његове ране младости до последњих дана његовог живота. Начин, стил и резултати борбе увршћују га у плејаду великих ратника за истину о геноциду у НДХ.
Ми Роми, али и сви други који су страдали у другој Светској катаклизми, дугујемо му много и памтићемо га заувек. “
Проф Гидеон Грајф, израелски историчар, професор Оно колеџа, водећи истраживач Шем Олам института и Директор ГХ7 групе:
„ Проф. Живановић је био продуховљен и савестан великан наше данашњице. Његов јасан и гласан став о страдању српског народа, је без икаквог страха и устезања, био на далеко познат.
Пратио је сопствену савест и моралне принципе по питању геноцида почињеног у Независној Држави Хрватској над Србима, Јеврејима и Ромима, те није ни одустајао од истине чак ни у моментима када је примао претње смрћу и проживљавао разне тешке околности. Његов глас је опомена ревизионистима и громобран колективног сећања човечанства, који је изгубио једног од великих интелектуалаца, а српски и јеврејски народ једног од највећих честитих бораца. Легат Проф Живановића ће остати увек са нама. “
Грофица Џин Тоши Маразани Висконти, члан Међународне комисије за утврђивање истине о Јасеновцу:
“ ‘Човјек за сва времена’ не би требао никада да оде. Проф. Србољуб Живановић је био управо таква врста личности . Тргао је од заборава сјећање на јасеновачки логор смрти, као и преживјеле логораше. Одржавао је Културу Сјећања са највећим пијететом, одмјереношћу и побожношћу чак и кроз тешка времена, супротстављајући се (Не)култури Заборава које су многе силе покушавале да претворе у Заборављени Геноцид.
У име свих оних који су били заточени, али и они који још увијек леже у масовним гробницама највећег српског подземног града, Доње Градине, морамо захвалити и памтити Проф. Живановићев константни рад. “
Добрила Кукољ, предсједница удружења бивших логораша Другог свјетског рата из Бања Луке, преживјело дијете логараш Јасеновца:
„ Наше удружење дугује велику захвалност Проф. Живановићу који је потенцирао питање жртава НДХ у јавности, и који није одустајао да се истина сазна. Захваљујући њему успјели смо овјековјечити и нашу борбу у виду Декларације, коју је донијела Међународна Комисија за откривање истине у Јасеновцу, а коју је наша Скупштина усвојила 2015.године. Тиме смо ми, преживјели, добили утјеху да се стравични злочини над нашим народом у НДХ неће заборавити. “
Академик Василије Крестић:
„ Проф Живановић је један од ретких и изузетно часних људи који је имао храбрости да и у веома кризним временима, када се о геноциду морало ћутати, говорио своја сазнања која је стекао испитивањем на терену о броју српских жртава најсвирепије убијених од хрватских усташа у геноциду у НДХ. То је личност која заслужује свако поштовање и његовим нестанком осетиће се велика празнина баш у време када ревизионисти злонамерно и тенденциозно, безочно и бескрупулозно, смишљено раде на умањивању стравичног злочина који се десио над Србима у НДХ. “
Гојко Рончевић Мраовић, преживјело дете логораш Јасеновца, директор института Дијане Будисављевић:
„ Са великим жаљењем смо примили ову тужну вест да се наш велики пријатељ и истраживач јасеновачког злочина који је упознао светску јавност са овим чињеницама, јуче упокојио. Веома је добро познато да је жртвовао своју сопствену егзистенцију да би српском народу и свету обзнанио усташке злочине. Из овог разлога, ми, преживела деца усташких логора смо дубоко захвални, јер је мало било оних коју су били храбри као проф. Живановић. “
Др Душан Басташић, предсједник УГ Јадовно 1941, Бања Лука:
„ Својим истраживачким радом ставио је неизбрисив печат на истину о страдању наших предака и сународњака а својом посвећеношћу и истрајношћу до последњег дана је бранио ту истину од нарастајућег ревизионизма. “
Драгана Томашевић, директор Фондације за сјећање на Јасеновац и Холокауст:
„Била нам је неизмјерна част бити под вођством доајена српске борбе да се истина о геноциду над Србима не само сазна, већ да се и млађи нараштаји потакну у одржавању Културе Сјећања на усташке жртве Другог свјетског рата.
Име академика Живановића се у историју уписује као синоним борбе за истину, како у, тако и ван граница Р. Српске и Србије. У свијету ће остати упамћен као вансеријски калибар медицинског научника, али и као изузетно скроман човјек који се до последњег даха, као патриота, борио за истину о геноциду и Холокаусту у НДХ.“